写过很多关于组合数学的文章，今天讲讲如何从直观上来理解两元素子集的数量问题。
废话不多说，直接上题目：在集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}中，有多少个包含两个元素的子集？这个问题还可以换个角度问：从1~10这10个自然数中，任意选出两个数，有多少种不同的可能性？虽然前者看似集合问题，后者看似组合问题，但本质上其实是一个意思。
常规的解法我就不解释了，读者朋友们随便找一本相关的书都有介绍。今天我们换个角度来看这个问题，如何从直观上来理解两元素子集的数量？
在很多场合，我都会讲解三角形数，我也多次提过这是理解很多数学问题的一个重要角度。很可惜，国内的教科书并不重视这个问题。
所谓的“三角形数”，就是类似1、3、6、10、15、21、……这样能表示成等边三角形的数。这里要强调的是，必须是表示成“等边三角形”的数才能称为三角形数，其他形状的三角形不行。
现在我把1~10这10个数横着排成一排，然后每两个数之间摆放一个圆圈，依次往上。如图所示：
这个图依旧是一个等边三角形，那么构建这样一个等边三角形有什么用处呢？有些读者可能已经发现了一个有趣的现象：无论我们如何选取1~10中的任意两个数，都能向上画出一个等边三角形。比如：
这是一个有趣的发现。我们经过整理可以总结如下：
从上面的图，我们可以非常直观地得到这个问题的答案就是：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45。
其实，我们从组合计数的计算角度也能知道为什么是这样的结果。从1~10这10个自然数中，任意选出两个数，可能性就是10选2的组合数学问题，即C（10,2）=10×9÷2=（1+9）×9÷2。
这个问题还可以怎么看呢？接下来，让我们通过笛卡尔坐标的角度再来看一下这个问题。
假设有一个10×10的点阵图。其中红点表示的坐标就是（2,8）如下图所示：
把这个图形稍作变形，我们会发现：假如坐标为（2,8）的红点以白色对角线为对称轴，在这条对称轴的另一边还有一个坐标为（8,2）的红点，这两个坐标代表的1~10个自然数的两个元素的子集是相同的，即{2,8}={8,2}，而黄点则分别代表了这条对称轴上的第2个点和第8个点。
于是，我们可以发现，这条对称轴的左上方或者右下方各有1+2+3+4+5+6+7+8+9=45个点，每个点都对应着1~10这10个自然数的一个两元素的子集。这45个点可以这样计算：（10×10－10）÷2=45。因此，总个数为任意多个元素的两元素子集都可以按照这样的方法计算得到：（N×N－N）÷2=N×(N－1) ÷2。
真可谓是万变不离其宗，我们又一次殊途同归了！
好了，今天这个问题就解释到这里，希望读者朋友们能有所收获。