因式分解十字相乘法的几何意义

初中代数一个很重要的知识点就是因式分解，而因式分解中有一个经常使用的方法就是十字相乘法。我发现很多同学都会熟练使用十字相乘法，但往往只是会用，却完全不知道这个方法到底代表着什么数学含义。知其然，而不知其所以然。难怪很多同学到了中学阶段，数学这门课程学得极为痛苦。

接下来，我想通过几何图形的方法来给同学们演示一下“十字相乘法”的数学含义到底是什么。

以式子x²+4x+3为例，通常学校老师都会告诉同学们可以采用十字相乘法来进行因式分解，如下所示：

那么，为什么要这么做呢？十字相乘到底代表着什么数学含义呢？我相信很多同学心里都存在疑问。

在欧几里得的时代，对乘法的理解通常表述为：线段m和n所围成的矩形。在欧几里得的《几何原本》中，“矩形”是指“矩形的面积”，“围成”是指“以之为边”，“线段m”是指“长为m的线段”。

我也多次强调，欧几里得的这个视角对理解很多数学问题都有非常好的帮助。现在我用这个视角来解释一下十字相乘法的几何意义。

我们可以把多项式x²+4x+3进行一下变形：

这代表这个式子是由一个边长为x的正方形、4个长宽分别为4和1的长方形、3个边长为1的正方形所组成，如下图所示：

这些矩形放在一起又可以组合成什么图形呢？很简单，如下所示：

这是一个长和宽分别为x+3和x+1的长方形。这下聪明的你应该明白了吧，前面的变化过程代表着：一堆的矩形最终可以重新组成一个全新的长和宽分别为x+3和x+1的长方形，这就是它的数学含义。

进一步抽象化，以式子x²+（a+b）x+ab为例，这个式子同样可以转换为：

用几何图形表示就是：

这几个矩形重新组合成一个长和宽分别为x+a和x+b的长方形，如下图所示：

进一步，我们可以延伸到更加复杂的情况下去，如式子：

左式的几何意义为：

重新组合后变为：

以上就是因式分解中十字相乘法的几何意义，不知道同学们看明白了没有？还没明白就多看几遍吧，老师只能帮你们到这里了！