众所周知，对于整数而言，乘法的运算可以理解为反复做加法（比如：3×4=4+4+4），但对于分数而言，这个解释就显得让人费解了。比如：对于“(1/3)×(2/5)=?”这样的分数乘法而言，我们无法解释为2/5自加1/3次，也无法解释为1/3自加2/5次。对此，大部分的教科书也是解释得模棱两可，甚至不做任何解释，只是机械地让学生记住两个分数相乘时，分子与分子相乘得到新的分子，分母与分母相乘得到新的分母。这样的做法显然是不太负责任的，对于孩子们的好奇心而言也是一种扼杀。
在下文中，我将通过自己喜欢的几何学方法来对分数的运算作一个较为直观和易于理解的解释，希望可以帮助大家对分数有一个新的认识。
一、分数的数学意义
对于分数1/3而言，很容易理解为是将1份东西分为相等的3份，取其中的1份。但对于分数5/3而言，很多人都会想当然地理解为将5份东西分为相等的3份。虽然对于数学运算结果来说，这样的解释似乎没什么问题，但从数学含义来说，这种理解却存在很大的问题。
假如现在有5张A4纸，要求将这5张纸分为3等份，你会如何操作？你要将这5张A4纸横着平铺在桌面上进行切割划分吗？这似乎是一个难度非常大的事情。正确的做法是将这5张白纸重叠后再分为3等份，每一份代表其中一张白纸的1/3，我们取其中的5份，这就是分数正确的数学意义。如下图所示。
因此，分数m/n的数学意义表示1份东西（或者1单位物品）分为n份，取这样的m份。
二、分数的加法运算
对于同分母的分数加减法（比如：1/5+3/5=4/5），我们很容易用几何图形来进行解释。
但是，假如是不同分母的分数相加（比如：2/5+3/7=29/35），我们又如何用几何图形来进行解释呢？对于这一点，我们需要清楚分数与分数可以相加的基础是它们的分母最终可以相比较，或者更加明确的是两个分数要转为同分母的情形才可以进行加减运算。这点我们从分数和加减运算的数学意义也能推出来。明确了这点，我们应该不难想到如下的图形解释。
减法作为加法的逆运算，请读者自己推导一下。
三、分数的乘法运算
我在其他的文章里提到过，将两个数的乘积解释为一个矩形的面积具有很悠久的历史。在古希腊数学家欧几里得（Euclid）所处的时代，对乘法的理解通常表述为：线段m和n所围成的矩形。在分数的乘法运算上，这个几何学上解释同样适用，可以说非常好用。
由于分数（小数）本质上是一个数，与其他的自然数或者说整数是一样的。因此，在这里m和n同样适用于分数的情形，故我们可以把两个分数m/n与k/l相乘理解为是“线段m/n和k/l所围成的矩形”。如下图所示。
为了让问题看得更加清楚，我们可以先从分子为1的分数(1/m)×(1/l)开始。比如：(1/3)×(1/5)=1/15。等式右边的蓝色小方块就代表了由线段1/3和1/5所围成的矩形，代表1/15。
再来看一下分数的分子不为1的情况，比如(2/3)×(4/5)=8/15。如下图所示。
等式右边的蓝色区域就是由线段2/3和4/5所围成的矩形，代表着2×4=8个1/15大小的蓝色小方块。
以上的用几何图形对分数运算的表达，特别是分数的乘法运算“两个分数相乘时，分子与分子相乘得到新的分子，分母与分母相乘得到新的分母”，相信会让大家觉得非常地直观和易于理解，任何语言在这种几何学的演示下都会显得有点多余。
这就是数学家们所经常使用的方法：Proof without words。