很多人都在平板电脑或者手机上玩过“切水果”的游戏吧！在数学中，有不少与切西瓜或者切蛋糕相关的题目。在前面的文章里，我曾写过“如何数圆与圆之间的交点数”和“如何切割圆形得到的块数最多”等问题。今天是2017年最后一天，我再抛出一道新的题目，看看小朋友们的数学思维能力如何！
题目是这样的：在圆周上有6个点，用直线连接圆周上的任意两点，对该圆进行分割，我们能得到的区块数量最大是多少？假如有7个点又是多少？8个点或9个点又当如何？
这题目初看起来有那么点烧脑。这里，大家可以先燃烧一下你们的脑细胞，然后再继续往下看！
通常，我们解决这种题目，可以先进行尝试，然后观察、归纳、总结规律。我把1至5个点的情况先画了出来，如图所示。
经过观察我们可以发现，最后的区块数量与两个因素有关：一个是任意两个点所连接的直线段数量，因为线越多，区块数量会随之增加；另一个则是直线与直线在圆的内部的交点数量，因为如果在圆的内部出现三条线交于同一点的情况，所分割的区块数量显然要少于三条线两两相交的情况（这一点可以参考前面的文章）。
那么，我们可以根据这个观察结果进一步作列表观察。如下图所示：
经过比较，我们发现，每一行的线段数与交点数之和，均与最后的块数相差1。这是一个重要的发现。
于是，我们可以猜想，块数（P）与线段数（L）和交点数（I）一定存在某种关系。根据我们发现的规律，我们可以猜测：块数（P）＝线段数（L）＋交点数（I）＋1。
听过我介绍皮克定理（Pick’s Theorem）的思想发展史的小朋友应该记得，皮克定理就是通过这样的尝试和观察，然后猜想出来的。后面的证明过程就留给读者们自己去尝试了，并不难的。
那么，这里还有一个关键问题，就是线段数（L）和交点数（I）如何确定？
先看线段数（L）。
由于圆周上的任意两点都能确定一条直线段，那么就很容易可以知道，这就是在圆周上的n个点中选出2个点的组合问题了。因此：
再来看交点数（I）。
我们发现，圆的内部交点都是由四个点所连接的两条直线所组成的，那么交点数量就成了在圆周上的n个点中选出4个点的组合问题了。
因此，我们可以综上得到：
这就是我们得到的一般化的公式。
大家还可以回头与之前文章中的相关问题进行比较，自己再总结一下这类题目的不同切入口，归纳一下解决这类问题时我们考虑的方面有哪些异同点。经过不断地训练，你们的数学思维能力会越来越好！