有很多个点组成的格子图，选取4个点可以画出一个长方形（只有水平线和垂直线可以作为长方形的边）。请问这些点一共可以画出多少个长方形（包括正方形）？
后来陆续收到了很多读者朋友们的答案，很多都算对了结果，但我给他们的答复大都是：能否再简单一些？
我不否认一个问题通常会有很多种解法，也经常鼓励孩子们不断去尝试新的方法，发现更加简单的解题思路。那么，在这里我给出自己的解题思路和方法。
我们知道，满足条件的长方形有很多个，比如下图的两种情况都是：
我们经过仔细观察可以发现，在这些长方形里，其实有两大类：一类是四条边最终会在三角格点阵的斜边上有四个映射点；另一类是四条边最终只会在三角格点阵的斜边上有三个映射点。
第一类，四条边最终会在三角格点阵的斜边上有四个映射点，相当于在三角格点阵斜边的10个点中选取4个点的组合计数问题，即：C（10，4）＝10×9×8×7÷4！＝210种；
第二类，四条边最终只会在三角格点阵的斜边上有三个映射点，相当于在三角格点阵斜边的10个点中选取3个点的组合计数问题，即：C（10，3）＝10×9×8÷3！＝120种；
两种情况合起来就是：210＋120＝330种。
能否再简单一些呢？当然可以。
假如在这个三角格点阵的斜边外面再加一条11个点的斜边，那么前面两类情况都会有4个点映射到这条11个点的斜边上，因此问题就变为了在新的三角格点阵斜边的11个点中选取4个点的组合计数问题，即：C（11，4）＝11×10×9×8÷4！＝330种。
对，你没看错，就是这么简单！
那么问题来了，为何C（10，3）＋C（10，4）＝C（11，4）呢？这个问题我在其他的文章里解释过，道理其实很简单。
从A~K这11个字母里选4个字母的计数问题，我们可以分为两类：一类是A入选，第二类是A没有入选。在前一种情况下，我需要在剩下的10个字母里再选取3个，就是C（10，3）；而后一种情况下，我必须在剩下的10个字母里再选取4个，就是C（10，4）；两种情况合起来，就是从A~K这11个字母里选取4个字母的全部结果了。
总结一下：在这个问题中，我们运用了数学中一个很重要的“对应”思想，把正方形通过点的映射，转换为映射点的计数问题；然后，用组合计数的基本原理就把这个问题轻松解决了。
类似的方法还可以应用到下面这个问题之中：把边长为1的等边三角形ABC的三条边十等分，过各分点在三角形ABC内作各边的平行线，得到的图形叫做等边三角形ABC的格点阵。求其中所有平行四边形的个数？
数学问题的美丽之处，通常就在于我们总是可以用很多种不同的角度去思考并得到解决方案。如果只有一个解法的问题是不值得我们去花时间思考的，如果一个问题我们能得到很多种不同的解法，那么就胜过做很多个技术含量很低的题目。在各种解法中，我们又以简单的解法为上，简单的就是美丽的！
