由于数论知识在我们普通的学校应试教育中属于空白领域，因此哪怕读者朋友学过高等数学知识，看这部分内容依旧会很费劲，甚至一脸茫然。
所以，各位读者朋友们，请大家对自己的孩子们多点耐心，不要对着孩子大吼大叫，因为用不了多久连你们自己也会啥都看不懂了。下图就是真实的写照，请大家对号入座，哈哈！
好了，言归正传，今天继续上次的文章，用组合数学的角度解释数论中另一个重要的定理“威尔逊定理”。
在初等数论中，威尔逊定理（Wilson's Theorem）给出了判定一个自然数是否为素数的充分必要条件，即：当且仅当p为素数时，有(p－1)!≡－1(mod p)。
威尔逊定理是以英格兰数学家爱德华·华林（Edward Waring）的学生约翰·威尔逊（John Wilson）命名的，不过这对师生都未能给出证明。华林于1770年提出该定理，1773年由拉格朗日首次证明。不过有证据显示，德国数学家莱布尼茨在华林和威尔逊出生之前（大约一百年前）就已经知道有这么个定理了，只是没有公开发表。又是莱布尼茨，还让不让人活了啊！
威尔逊定理有很多证明方法，读者朋友可以找相关的数论著作和教科书来看，一般都有介绍。这里我依旧想给大家介绍一种组合数学的视角来理解这个定理。证明如下：
威尔逊定理相当于要证明等价表达式p|[(p－1)!+1]成立，即质数p可以整除(p－1)!+1。当p＝2或者3时，2|(1!+1)或3|(2!+1)，显然成立；现在假设p≥5。
假如在一个圆上，均匀地分布着5（p）个点，请问可以构造出多少个5角星（stellated p-gons）？根据组合数学的知识，我们可以先从这5（p）个点中选一个，然后从剩下的4（p－1）个点中选一个，再从剩下3（p－2）个点中选一个，……；因此，全部的可能性就是5!（p!）种。
然而，在所有这些可能性中，我们发现存在着重复。我们可以从这5（p）个点中的任何一点出发，最后回到这一点；我们也可以从第一条线段的另外一点出发，再回到那一点；因此，每一种可能的五角星其实有5×2（2p）种重复。所以，最后我们可以得到不同的五角星数量为：5!/(2×5)＝(5－1)!/2＝12，即p!/2p＝(p－1)!/2。
如下图所示：
在所有这些五角星中，我们又发现，存在着2个正的五角星，如上图的(a)部分所示。
当p＝11时，存在5个正的11角星：
当p＝13时，存在6个正的13角星：
很容易证明，这种正p角星数量为(p－1)/2。
于是，我们得到全部的非正的五角星数量为(5－1)!/2－(5－1)/2种，即(p－1)!/2－(p－1)/2。而在这些非正的五角星中，每一个都可以通过旋转(360/p)°而得到5（p）个完全一样的形状。如：
于是，我们可以得到[(p－1)!/2－(p－1)]/2p是一个整数，即p可以整除(p－1)!－p＋1，也即p|[(p－1)!－p＋1]。进一步推出，p|[(p－1)!＋1]。证明完毕。
整个推理有一点烧脑，但明白之后会发现世界很精彩，简单即是美！