古希腊数学家毕达哥拉斯曾说：万物皆数。在我们的日常生活中，大到宇宙天体，小到物质微粒，无一不与数字有关。同时，我们每天还会遇到各种各样的“事件”（events）。在不同的情况或条件下，对事件可能发生的种类进行计数也就成了一件习以为常的事情。
比如说：应老师一家暑假去海南游玩，可以坐高铁、飞机、邮轮、客运巴士和自驾私家车，请问应老师到海南游玩有几种出行方式？
又比如说：小豆包同学要参加学校的运动会，她有红色、白色、蓝色三套不同颜色的运动服，还有NK、AD、NB和LN四双不同品牌的运动鞋，请问小豆包同学有多少种运动服和运动鞋的搭配？
显然，对于第一个例子而言，应老师一家有5种不同的出行方式，即1＋1＋1＋1＋1＝5种。如下图所示：
而对于第二个例子而言，小豆包有3×4＝12种不同的衣服和鞋子的搭配组合。如下图所示：
再举个例子：有两个盒子，其中一个盒子里有5个小球，另一个盒子里有9个小球，所有的这些小球颜色各不相同。请问：（1）从两个盒子内任取一个小球，有多少种不同的取法？（2）从两个盒子内各取一个小球，有多少种不同的取法？
对于第1个小问题来说，要求的是“任取”一个小球，于是两个盒子里的小球都是我选择的对象，因此有5＋9＝14种取法；对于第2个小问题来说，要求的是“各取”一个小球，于是我要先从第一个盒子的5个小球中取出一个，然后再从第二个盒子里的9个小球中取出一个，因此有5×9＝45种取法。
那么，这两种取法在本质上有什么区别呢？前者要求“任取”，意思是任何一个小球都能满足题目的要求，因此只要把两个盒子里所有的小球数简单加总即可；而后者要求“各取”，意思是题目要求从两个盒子里分别取出一个小球，一共要取出两个小球，任何一个盒子里的单独一个小球都是无法满足要求的，因此要将两个盒子里的小球数相乘得到最后的结果。
我们综上可知：如果完成一件事情有几类方法，无论哪类中的哪种方法都可以完成这件事情，就用加法；如果完成一件事情需要分成几个步骤，要依次完成每个步骤后才能完成这件工作，就用乘法。于是，我们就有了最基本的计数原理：加法原理（Addition Principle）和乘法原理（MultiplicationPrinciple）。
加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同的方法，在第二类方法中有m2种不同的方法，……，在第n类方法中有mn种不同的方法，那么完成这件任务共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法。加法原理体现的是一种分类计数的思想。
乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么按照这样的步骤，完成这件任务共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法。乘法原理体现的是一种分步计数的思想。
加法原理和乘法原理是组合计数或者组合数学最基本的计数原理。下面我们来看几个例题。
例1：小明高考填报志愿，他对浙江大学的数学、物理、工程、化工、计算机这五个专业有兴趣，同时他也对中山大学的经济学、法学、生物这三个专业有兴趣。请问：假如最终只能选一个专业，小明最后有多少种专业可以选择？
由于小明最终只能在两所大学中选一所，而且只能选择其中一个专业，这里两所大学的专业没有重叠的，所以我们根据加法原理，小明的专业选择种类数为5＋3＝8种。
例2：金拱门大饭店里有3款牛肉汉堡、4款鸡肉汉堡和2款猪肉汉堡，假如你只能选择其中一款汉堡作为午餐，请问有几种选择？
这里，无论哪一款汉堡都可以作为午餐，任选一款汉堡都可以满足我们的要求，因此只要把牛肉汉堡、鸡肉汉堡和猪肉汉堡的数量简单加总就可以，即3＋4＋2＝9种选择。
例3：金拱门大饭店里有3款牛肉汉堡、4款鸡肉汉堡和2款猪肉汉堡，同时还有可乐、橙汁、雪碧、红茶、咖啡等5种饮料，要求选一款汉堡并搭配一种饮料作为套餐组合，请问可以搭配出多少种套餐组合？
作为套餐组合，汉堡和饮料两者缺一不可，因此要分为两个步骤进行，首先是从3＋4＋2＝9款汉堡里选出一款，然后再从5种饮料里选出一种，这样才能搭配出完整的套餐组合。因此可以搭配出9×5＝45种套餐组合。
例4：有1、2、3、4、5这五个数字，用来组成三位数。请问：（1）假如允许每个数位上的数字可以重复，有多少个不同的三位数可以组成？（2）假如每个数位上的数字不可以重复，又有多少个不同的三位数可以组成？
第1个小问题：由于三位数由百位、十位和个位组成，因此我要将这个任务分为三个步骤进行考虑。首先确定百位上的数字，可以从五个数字里任选一个；然后确定十位上的数字，同样可以从五个数字里任选一个；最后确定个位数字，依旧可以从五个数字里任选一个。所以，根据乘法原理，一共有5×5×5＝125种不同的三位数可以组成。
第2个小问题：由于各个数位上的数字不可以重复，因此有一些变化。首先确定百位上的数字，可以从五个数字里任选一个；然后确定十位上的数字，由于五个数字中已经有一个数字被用在了百位上，所以只能从剩下的四个数字里选一个放在十位上；最后确定个位数字，由于五个数字中已经有两个数字分别被用在了百位和十位上，所以只能从剩下的三个数字里选一个放在个位上。最后，根据乘法原理，一共有5×4×3＝60种不同的三位数可以组成。
例5：数字360有多少个正约数？
我们先将360这个数进行质因数分解，可以得到360＝23×32×51。由于每一个约数最后都是由若干个2或3或5相乘所得到的，于是我们可以将这个问题分为三个步骤去考虑。首先考虑数字2，2最多就是3个都用上，也可以不用，因此有3＋1＝4种可能性；其次考虑数字3，3最多是2个都用上，也可以不用，因此有2＋1＝3种可能性；最后考虑数字5，5最多只能用1个，也可以不用，因此有1＋1＝2种可能性。所以，根据乘法原理，一共有4×3×2＝24个不同的约数。
最后，还有两点需要进一步强调的是：
（1）加法原理是把完成一件事情的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，每一种方法对于完成这件事情来说都是“或者”的关系，所以完成任务的不同方法数就等于各类方法数加总之和；
（2）乘法原理是把一件事情分成几个步骤去完成，这几个步骤缺一不可，每一个步骤对于完成这件事情来说都是“并列”的关系，所以完成任务的不同方法数等于各个步骤方法数的乘积。