空间想象力在几何数学解题中的重要性

对于任何一门学科而言，空间想象力都是一种非常重要的能力，无论是作为自然科学的物理学，还是作为形式逻辑的数学，甚至是作为社会科学皇冠上明珠的经济学，都是适用的。没有想象力，我们的科学研究就很难像现在这样取得如此骄人的成绩。

由于最近对国际数学奥林匹克竞赛中的平面几何问题涉及较多，空间想象力的重要性让我感触颇深，今天我把部分心得写出来与读者朋友们分享。当然，如果你是几何数学解题高手，下面的文字可以忽略，本文写给那些缺乏空间想象力的孩子们。

例1：假设△ABC内接于一个以O为圆心的圆内，P为平面上的一个点，则下面的三个结论是等价的：（1）线段PA与圆（ABC）相切；（2）线段OA垂直于线段AP；（3）∠PAB＝∠ACB。

前两个很好理解，第三个如何理解呢？

我们知道，在圆内接四边形定理中，圆内接四边形的两个对角是互补的。那么，很容易推出一个结论：圆内接四边形任何一个内角的外角都与其对角相等。如图所示：

那么，大家想象一下，如果有一个圆内接四边形XABC，当点X趋向于A点，并最终重合时，是不是就得到了我们前面所得到的第三个结论：∠PAB＝∠ACB。

例2：（Russian Olympiad 2010）△ABC周长为4。点X和Y分别位于射线AB和AC上，AX＝AY＝1。线段BC与XY相交于点M。证明：△ABM和△ACM中哪一个周长为2。

分析：这道题看着很简单的样子，但其实并非看上去那么容易证明。这里有两个困难：一是题目的条件很简单，二是要证明的问题并不是确定的。

但有限的条件还是给了我们一些线索，特别是AX＝AY＝1这句话。我们把AX和AY分别进行延长至U点和V点，使得AU＝AV＝2。这个2正是我们要证明的结论。由于U点和V点分别是这个三角形ABC旁切圆的切点。那么根据下图所示，这个问题的关键就变成了如何证明AM＝MT了。

证明：令IA为△ABC旁切圆的圆心，该旁切圆与BC边相切于T点。延长AB边和AC 边到U点和V点，使得AU＝AV＝2。那么线段XY就是这个旁切圆和以A点为圆心、半径为0的圆的基轴（radical axis）。于是可以得到AM＝MT。因此可以进一步推出：AB＋BM＋MA＝AB＋BM＋MT＝AB＋BT＝AB＋BU＝AU＝2。证明完毕。

这里还需要进一步说明的是，如果该旁切圆与BC边相切于T点位于线段BM上，这个结论应该如何呢？我想，聪明的你应该已经知道答案了。

在这个问题里，把点A想象为以A点为圆心、半径为0的圆是一个关键，因为可以直接通过点X和点Y是AU和AV的中点，推出线段XY是两个圆的基轴。

例3：（Iran TST 2011）在锐角三角形ABC中，∠B大于∠C，点M为线段BC的中点，点E和点F分别为从点B和点C作高的垂足。点K和点L分别为线段ME和MF的中点，T位于直线KL上，使得TA∥BC。证明：TA＝TM。

证明：令ω为△AEF的外接圆根绝切线引理可以得到T A、MF、ME都与圆ω相切。把点M想象为圆心为M、半径为0的圆γ₀，则点K位于这个圆与圆ω的基轴上。因此，Pow_ω(K)＝KE²＝KM²＝Pow_γ0(K)。同样地，L点也位于基轴上。因此，直线KL是这两个圆ω和γ₀的基轴。于是，TA²＝Pow_ω(T)＝Pow_γ0 (T)＝TM²，所以TA＝TM。

这里，再一次用到了把点想象为半径为0的圆的思想，然后非常顺利地得到了基轴，并最终证明了结论。

引用上面这三个例子，只是作为抛砖引玉，说明空间想象力在几何数学解题中的重要性，希望对热爱数学的孩子们有所帮助。