一份有数学依据的生活指南,告别生活烦心事

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生活总有困扰的烦心事:如何跟室友相(si)处(bi)?如何与心爱的 Ta 长相厮守(18岁以下不提倡)?如何把一块钱掰成两半花?下面是一份有数学依据的生活指南,希望能够帮到你。

困扰一:上铺打呼,下铺“吃鸡”,对面电话“撒狗粮”……失眠

解决方案:一只羊、两只羊、三只羊……什么是数?是羊?牧羊人的三根手指头?符号“3”?还是文字“三”或“III”?你要是问上幼儿园的小朋友“什么是数”,他们会充满智慧地指一指盘子里的苹果,一个个数给你看。

计数一直伴随着人类生活:从狒狒腓骨上的一道道刻痕,到简单的绳结,这些都堪称人类早期智慧的证明。

当然,最开始为数学寻找“文字”的人并不是数学家——那时候哪里有什么数学家?或者说,数学家都还干着一些“正经行当”,比如哲人、教师、书记员、杂货商人、牧羊人……

大约在公元前 4000 年,人们用绳子把黏土块串成链,用来计数。但黏土块太容易被动手脚了,于是有人把黏土块裹在黏土里封存,这样,只有打破陶土壳,才能知道里面有多少黏土块。

公元前 3500 年开始,美索不达米亚人在陶土壳上刻上符号,列出裹在里面的黏土块数量——最后,终于有人想到:既然有了这些符号,还要壳里的黏土块干什么?数字的书写可能就源于这种图省事儿的想法。问题貌似开心地解决了。然而,数学家们在此时觉醒,深沉地说:“数,没这么简单。”

德国数学家弗雷格发表了专著《算术基础》,为“数”制定了基本原则。简单来说,桌上有 7 只茶杯,计数为“1、2、3、4、5、6、7”。弗雷格认为,重要的不是数,而是这组茶杯——我们的目的是计数这一组茶杯。如果是不同组的茶杯,可能会得出不同的数字。弗雷格称这些组为“类”。当你计数这个“类”包括多少茶杯时,便在茶杯的类和数字符号 1、2、3、4、5、6、7 之间建立了对应关系。同样,桌上还有 7 个茶碟。就算不用符号 1、2、3、4、5、6、7,也不知道茶杯和茶碟数量的情况下,我们仍然可以证明,茶碟的类所包含茶碟的数量与茶杯的类所包含茶杯的数量相同——你只要把茶杯一个个放在碟子上,一一对应就行了。把茶杯作为“标准类”去和碟子的类匹配,这就是计数。这和你用阿拉伯数字、罗马数字、汉字数字,都没关系。

你也许认为,这是关于数的最无趣的故事,但它解释了“什么是数”,而且或许有助于睡眠。

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困扰二:缺钱,真的缺!

解决方案:开(少)源(上)节(淘)流(宝)。比卸载淘宝更能让人理智的,是查看存款的余额——余额为 0,方能四大皆空。

0 很晚才获得“数”的身份,因为彼时人类的想法很简单,比如中国人就觉得,没有了就空一个格;而古印度文明会用圆点代替一下“无”。0 的诞生,在西方历史上曾掀起过一场腥风血雨——空也罢,虚无也罢,都是魔鬼的代言人。

这里还要提示大家,网贷是沾不得的,毕竟比“0”还惨的就是“负数”。

已知最早的负数出现在中国汉朝的《九章算术》里,3 个红色算筹减去 4 个红色算筹会得到 1 个黑色算筹,所以,黑色的算筹代表“负债”,即负数。也可以说,古代中国和古印度的数学家开始使用负数的时候,0 才有了意义。

如今看着理所当然的数,曾经历了多少迷茫与惊恐?银行账户中的负数加减法不难理解:6+(-5)=1,可以理解为 6-5=1。

负数的乘法却是另一番折腾。乘法可以被当作重复的加法,6×5 就是 6 个 5 相加,所以 6×(- 5) 可以定义为 6 个 -5 相加,等于 -30。那么 (-6)×(-5) 呢? -6 个 -5 怎么相加?答案是 30 还是 -30?

划个重点:关于数,很多答案和概念,其实都不是从自然界唾手可得的,而是人类人为定义的!当一个数的定义、概念行不通了,数学家就会耍个赖,要么人为重新定义它,要么索性引入新的数。

(-6)×(-5) 的答案就是人类的约定。如此一来,数学家们可以规定 (-6)×(-5) 等于任何东西,比如鲜花和芝麻烧饼,但数学家们不会胡来。(-6)×(-5) 的答案被最终定为 30。第一,如果 (- 6)×(-5) =-30,那么它与 (- 6)×5 相等。第二,我们卖个关子,你可以自己想想。

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困扰三:桃园结义的困惑

解决方案:如果有人硬拉你“拜把子”,要跟你“不求同年同月同日生,但求同年同月死”,可你打心眼里不乐意,但又不好得罪他,那你不如先问问他:“咱们同年同月同日生的概率是多少?”

如果他懵了,你的机会就来了。

假设一年有 365 天,我们不考虑人类繁殖的季节性偏好,也不考虑某些父母对于孩子必须属龙属猪的执念,同时,我们还要假设每个人的概率是相互独立的。如此一来,一个人在每天出生的概率完全相等,即 1/365。

当就你一个人时,生日不同的概率必然应该是 1。

当有两个人结拜时,另一个的生日必须与你不同,只能从剩下的 354 天里选,它发生的概率是 364/365。

在刘、关、张三个兄弟的情况中,张飞的生日必须与两位哥哥的不同。根据计算概率的规则,如果我们希望得到两个独立事件都发生时的概率,只需要把这两个概率相乘。因此,没有重复生日的概率是 (364/365)×(363/365)。

以此类推,当有 k 个人结拜时,所有 k 个人生日不相同的概率是:

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“同学,咱们同年同月同日生的概率是 1-364/365。”

“一年有 365 个日出,那我就送你 365 个祝福吧。”

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困扰四:男女朋友“无理取闹”

解决办法:保持佛系,很多被视为“美”的,恰恰是“无理的”。

对大多数实际生活中的问题而言,有理数(也就是分数,即两个整数之比)已足够用了,但有些问题没有有理数的解。比如,边长为 1 的正方形的对角线长度,即√2≈1.41421356237309504880,这是一个无限不循环的小数,据说也是第一个被发现的无理数。

所以,数是“有理的”(rational)还是“无理的”(irrational),跟它讲不讲道理没啥关系。

于是,数学家又撞上了“死胡同”。但鲁迅先生说——不不!——提示得好:“世上本没有无理的数,你造一个,就有了无理数。”

无理数,既可以说是数学家的发现,也可以说是他们的发明。无理数家族包括众人皆知的 π,美轮美奂的黄金分割数 φ 和一般人不知道用来干嘛的自然对数的底 e,等等。

除了炒圆周率的冷饭,π 在其他地方也有不少故事。1784 年,欧拉发现了数 π、e 和 i (i 是 -1 的平方根,也有一段跌宕起伏的故事)之间的关系:eiπ=−1。在数学家眼里,这个公式有着“无与伦比的美丽”——数学家的风筝在天上飞,地上的我们在地上追,这就足够了。

欧拉还解决了巴塞尔问题,旨在计算所有平方数的倒数之和。当时,有许多伟大的数学家试着去计算。欧拉在 1735 年算出了一个相当简洁的结果,让他在数学界声名鹊起。

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此外,统计学中著名的钟形曲线,其下的面积正好等于√π。

2019 年参加高考的孩子们一定永生难忘黄金分割数 φ。如果你再见到以下这张图里的任何图像,别犹豫,这一定是在讨论这个数。

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φ = (1+ √5) / 2 或 φ =(√5-1)/2两者约等于 1.618 或 0.618,它们互为倒数,表达的概念是一样的。有人说,毕达哥拉斯学派或达·芬奇把它定义为“黄金分割”,实在太无理了。但正如上图中看到的,自然界中充满了这一比例。

斐波那契数列在植物王国里很常见,例如,向日葵螺旋的几何学关键就是黄金分割数:将一个完整的圆(360°)按黄金比分割成两段弧,较长的弧所对应的角度是较短的弧的 ϕ 倍。于是,较短的弧长为整个圆的 1/1+φ。这个角度就是日葵种子的几何结构呈现的“黄金角度”,约等于 137.5°。人对黄金分割数的执念非常玄妙,人脸的宽度、眉间宽、上下身长比,以及牙齿、耳朵、口鼻的长度、宽度、间距,如果符合黄金分割的比例,都会让人天生觉得“美”。如果按照黄金分割的比例绘制图画、设计建筑,也会让人感到“舒服”。

上帝创造美,上帝创造“无理”。

最后,祝大家新学期有新收获,无论遇上什么困难,只要多读书、读好书,总会想得开的。

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