在前面的文章《一个经典最值问题的几何解释》中，我用简单的几何图形，向低年级孩子解释了一个常见数学口诀的数学含义：当两个正整数的和一定时，这两个正整数之间的差越小，则它们的乘积就越大；相反，如果这两个正整数之间的差越大，则它们的乘积就越小。具体内容大家可以点击链接阅读。
今天，我针对小学高年级和初中同学，再对这个口诀做进一步的阐释。
视角一：
如上图所示，4个a×b的长方形组合成了一个边长为a＋b的正方形。可以得到：(a+b)2-(a-b)2＝4ab。由于边长a＋b即两数之和保持一定，则正方形面积一定。要使得a×b最大，则(a-b)2要最小，即a-b最小，也就是说a=b是最小。
这就证明了：当两个正整数的和一定时，这两个正整数之间的差越小，则它们的乘积就越大；相反，如果这两个正整数之间的差越大，则它们的乘积就越小。
反过来也是相似。当乘积ab一定时，即4ab保持一定时，若两数的和a+b越大，则a-b也要相应越大，这样才能保持上式中的差4ab保持不变。因此，当两个正整数的乘积一定时，这两个正整数之间的差越大，则它们的和就越大；相反，如果这两个正整数之间的差越小，那么它们的和就越小。
视角二：
如上图所示，设a与b的平均数为(a+b)/2，则a×b=(c+x)×(c-x)＝c2-x2，即ab=c2-x2。因为a+b一定，则c=(a+b)/2一定。要使得ab最大，则必须使x2最小，即x为0时，ab最大。此时，a=b。证明完毕。
反过来，当乘积ab一定时，若两数的和a+b越大，即c越大，x也要越大，这样才能保证上式中的差ab不变。这也再一次证明了，“当两个正整数的乘积一定时，这两个正整数之间的差越大，则它们的和就越大；相反，如果这两个正整数之间的差越小，那么它们的和就越小。”
以上内容，供小学高年级同学和初中生同学参考。