拍照技巧与数学思维的趣味结合

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我很喜欢用生活中的例子来讲解数学问题,比如我特别喜欢用拍合照或者排队的例子来解释组合数学的基本原理,因为这类例子足够贴近生活,又能把问题说得清楚。

先从最简单的开始。问题:有五位同学站成一排,一共有多少种不同的排法?

拍照技巧与数学思维的趣味结合

这个答案很显而易见。在第一个位置上,有5个同学可以站;在第二个位置上,有4个同学可以站;在第三个位置上,有3个同学可以站;在第四个位置上,有2个同学可以站;在第五个位置上,有1个同学可以站。按照乘法原理,可能的排法就是5×4×3×2×1=120种。

稍微变化一下。现在要求其中两个人必须站在一起,问一共有多少种排法?

这个问题也不难,当两个人必须站在一起的时候,他们就可以看作是一个整体,五个人的排列就变成了四个人排列,即4×3×2×1=24种;但这里有一个容易忽视的问题,就是这两个人还可以交换位置,交换顺序之后又会有24种排列方式;所有正确的答案应该是:4!×2!=48种。

继续思考:有五位同学站成一排,其中A和B两人不能排在一起,一共有多少种不同的排法?

问题变化到这一步,很多小朋友就会犯迷糊,因为不知道如何思考。很多小朋友心中困扰的是这两人之间到底是间隔几个人?想到间隔几人其实是人之常情,但对于这个问题而言这个思考角度会让问题变得复杂。这里简单的解决方法就是“互补”的数学思维。所谓的“互补”思维就是,当你面对一个看上去无从下手的问题时,我们可以从问题的反面来思考,并找到突破口。前面我们不是刚刚解答过两个人必须站在一起的情况吗?那么,在五个人全排列(5!)的情况下,这两人要么是站在一起的,要么就是分开站立的。所以,只要在五个人全排列的情况下,减去两个人必须站在一起的排列方法,剩下的就是两人不排在一起的排列方法了。因此,答案就变得很显而易见了,即5!-4!×2!=120-48=72种。

然而,有些小朋友会问:难道不用这种方法就没法解决这个问题了吗?当然可以,就是稍微复杂了一点。这里我给出一种正面解决的思路。在这五个人里,除去不能在一起的这两个人,其他三个人总是会有一个3!=3×2×1=6的排列方式。那么对于A而言,他能站的位置一定有4个位置,两个位置是剩下三人的两边,两个位置是三人的中间,所以加入A之后会有3!×4=4!种排列方法,如下图所示:

拍照技巧与数学思维的趣味结合

那么,无论A站在哪个位置,B要与A不相邻,只有3个位置可以站,所以,我们可以得到答案:3!×4×3=72种排列方法,与我们用互补的思维得到的答案一致。

拍照技巧与数学思维的趣味结合

进一步思考:要求A必须站在B的左边,又有多少种不同的排法?

小朋友们可能会说:老师你还有完没完啊,拍个合照还这么多要求!哈哈,不要着急,简单的生活问题里,蕴含着很多重要的数学思维呢!

下面我先用数学里常用的铺转法来解释一下如何思考这个问题。五个人用五块地砖来表示,当然也可以是五个方格子,分别代表五个站位,用数字1、2、3、4、5标示。

拍照技巧与数学思维的趣味结合

当A站在1号位的时候,B只能站在他右边的4个位置中的一个,所以有:4×3!=24种;

当A站在2号位的时候,B只能站在他右边的3个位置中的一个,所以有:3×3!=18种;

当A站在3号位的时候,B只能站在他右边的2个位置中的一个,所以有:2×3!=12种;

当A站在4号位的时候,B只能站在他右边的5号位,没有其他选择,所以有:1×3!=6种;

因此,全部的排列情况有:(1+2+3+4)×3!=60种。

那么,能不能把这个问题想得更加简单一点呢?有,当然有,而且非常之简单。大家想想看,在五个人全排列的情况下,A和B两人,是不是要么是A站在B的左边,要么是B站在A的左边?从概率或者机会的角度来看,这两种情况一定是均等的。所以,在五个全排列的情况下,有一半的机会或者概率就是属于A站在B左边的。因此,答案就是:5!÷2=60种。

对,好的数学思维就是有如此简单粗暴之美!这篇文章的目的只是想告诉小朋友们:学数学,最主要的是学思维方式,而不是记住一个答案!

我经常和大学生和小学生们说,我从读大学开始到现在,在差不多二十年的时间里,一直反反复复地在读一本书,那就是张五常教授的《经济解释》,前后读了四十多遍。从第一版到最新的第四版,每一个版本的细微变动我都了如指掌,但我还在读,不是因为我不知道书中写了什么,而是我想把张五常教授的思维方式学透、学到家,我想学会他是如何思考问题,为什么他八十多岁了还能有如此的思考深度。学数学其实也是如此,背几个数学公式或者狂刷一些题目很容易,但帮助甚微,不容易会有太大的上升空间。但好的数学思维则是终生受益的,而且能帮助你在其他的学科上同样纵横自如。

当你感受到数学之美时,恭喜你已经找到了学习数学的门径了!

文/ Mr.Why

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