欧拉恒等式如何用最简单的方法来理解?

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欧拉恒等式也被成为欧拉公式,是一个令人着迷的数学公式之一,欧拉恒等式的关系式表示为e^iπ + 1 = 0 其中e是自然指数的底,i是虚数单位,π是圆周率。下面我们用最简单的方式理解欧拉恒等式。

欧拉恒等式如何用最简单的方法来理解?

我曾经让高年级孩子们填过一个表格,关于“柏拉图立体(Platonic Solids)”的。如下图所示:

欧拉恒等式如何用最简单的方法来理解?

表格后面的几个问号需要用到组合数学的知识,具体我就不解释了,大家看下图就可以,这里省里五百字。比如说:

欧拉恒等式如何用最简单的方法来理解?

然后我把表格填完整,得到下图,问大家从表格里发现了什么?

欧拉恒等式如何用最简单的方法来理解?

有一些观察力强的孩子发现了一个有趣的规律,即:顶点数+面数-边数=2。这就是著名的欧拉恒等式“V+F-E=2”。

今天我们重点来解释一下,为什么欧拉恒等式永远是成立的,不仅平面上成立,而且在立体图形上同样是成立的。

第一部分:平面上的证明

对于任意的平面图形而言,都是由有限的“边”(edges)、“顶点”(vertices)和“面”(faces)所组成。这是这个问题的一个起点,关于这个起点大家应该没有什么异议吧,否则我们就没法说下去了。

欧拉恒等式如何用最简单的方法来理解?

这里有3个面(或者说“区域”),有4个顶点,还有5条边,顶点数+面数-边数=4+3-5=2。欧拉恒等式成立。

要证明欧拉恒等式在平面上成立,我们可以通过数学归纳法。

第一步:计算只有一个顶点而没有任何边长时的V+F-E,答案是2。

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第二步:从一个顶点变为一条线段,即加上一个顶点和一个边长后,再次计算V+F-E,答案还是2。因为我们分别增加了一个顶点与一条边,互相抵消了。

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第三步:当我们只增加一条边,但不增加顶点时,分别计算图形增加边长前后的V+F-E,答案依旧是2。因为虽然只增加了一条边,但没有增加顶点,但因此产生了一个区域,新增加的边长数与新增加的区域数又一次互相抵消了。

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第四步:用以上步骤给任何平面且相互连接的图形增加边或者顶点,分别计算V+F-E。

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第五步:任意画几个图形,并加入一些边或者顶点,分别计算增加边或者顶点后的V+F-E。

当你只增加一条边时,就会同时增加一个区域;当你增加一个顶点时,你就必须增加原图形的边。因此,在构建平面并且互相连接图形的每一个步骤中,都是V+F-E=2。

证明完毕。

第二部分:立体图形上的证明

我们以常见的立方体为例。

欧拉恒等式如何用最简单的方法来理解?

这里需要说明的是:在立体图形上,我们只计算这个立体图形本身所有的“面”,外部空间本身不属于我们考虑的范围。这一点与平面图形是有区别的,读者朋友可以自己想一想为什么?

第一步:先取其中一个面进行计算,V+F-E=4+1-4=1。没错,最后等于1,不是2。

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第二步:将两个面合起来进行计算,当两个面合起来的时候,相邻的4个顶点和2条边消失了,所以最后其实和上一步是一样的,即:V+F-E=4+1-4=1。

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第三步:继续,在上一步的基础上再合并一个面。同理可得,V+F-E=4+1-4=1。

欧拉恒等式如何用最简单的方法来理解?

第四步:当我们把六个面都按照立方体的展开图合并后,如下图所示:

欧拉恒等式如何用最简单的方法来理解?

经过计算可得:V+F-E=12+1-12=1。

第五步:把其中两个面折起来。我们发现,在组合这个展开的图形时,每次都会使得顶点和边各减少1,所以V+F-E=1不变。

欧拉恒等式如何用最简单的方法来理解?

直到最后一个面进行组合复原时,会导致顶点减少2、边减少3。

欧拉恒等式如何用最简单的方法来理解?

因此,欧拉恒等式证明完毕。

这是一堂很适合与孩子们一起探索发现并进行数学归纳法证明的课,希望大家可以发现一些数学探索的乐趣。

文/Mr.Why

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