辛普森悖论与糖水不等式、概率问题

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糖水想必每个小朋友都喝过吧,今天我们来学一个由糖水浓度所引发的数学问题,以及对辛普森悖论的思考。

辛普森悖论与糖水不等式、概率问题

有一杯200克浓度为60%的糖水,往糖水里加入50克糖,请你计算加糖后的糖水浓度是多少?

计算:(200×60%+50)/(200+50)×100%=170/250×100%=68%。这说明了一个很显而易见的常识,往糖水里加糖,肯定会变得更加甜。

当然,这里的前提条件是,你我都要认同增加糖的质量会让我们味觉变甜。如果彼此在这一点上不能达成共识,这个问题就无从谈起。

进一步,有一杯200克浓度为60%的糖水和一杯300克浓度为70%的糖水,现在将两杯糖水混合,请你计算混合后糖水浓度是多少?

计算:(200×60%+300×70%)/(200+300)×100%=330/500×100%=66%。这说明了两杯不同浓度的糖水混合后,其浓度会介于原先的两杯糖水浓度之间。

用代数来表示就是:

辛普森悖论与糖水不等式、概率问题

用代数来证明,简单的过程如下:

辛普森悖论与糖水不等式、概率问题

这个就是著名的“糖水不等式”,据说最早由罗增儒教授提出。

那么,这个不等式还可以如何证明呢?

证明一:利用斜率的视角,如下图所示。

辛普森悖论与糖水不等式、概率问题

证明二:还是斜率的视角,如下图所示。

辛普森悖论与糖水不等式、概率问题

或者,

辛普森悖论与糖水不等式、概率问题

证明三:矩形面积的视角,如下图所示。

辛普森悖论与糖水不等式、概率问题

这个糖水不等式除了与我们的生活常识密切相关外,还能用来解释数学上一个著名的悖论“辛普森悖论”(Simpson’s Paradox)。

辛普森悖论指的是,当人们尝试探究两种变量(比如新生录取率与性别)是否具有相关性的时候,会分别对之进行分组研究。然而,在分组比较中都占优势的一方,在总评中有时反而是失势的一方。该现象于20世纪初就有人讨论,但一直到1951年,辛普森(Edward H. Simpson)在他发表的论文中阐述该现象后,该现象才算正式被描述解释。后来就以他的名字命名此悖论,即辛普森悖论。

举个例子:A和B都是棒球运动员。在一个赛季的前半段,A的击球率高于B的击球率;在赛季的后半段,A的击球率仍然高于B。那么请问:在整个赛季中,谁的击球率更高一些?

辛普森悖论与糖水不等式、概率问题

在大部分人的眼里,这个问题的答案应该是这样的:

辛普森悖论与糖水不等式、概率问题

但是,在数学家的眼里,这个问题的答案却有可能是这样的:

辛普森悖论与糖水不等式、概率问题

再举个例子,假设有一所大学招聘教职员工,有历史和地理两个院系的职位对外公开招聘。其中:历史系的职位有5名男性和8名女性申请,分别有1名男性和2名女性被录用,男性的录取率为20%,女性的录取率为25%。因此,历史系偏爱女性而非男性。而地理系的职位有8名男性和5名女性申请,分别有6名男性和4名女性被录用,男性的录取率为75%,女性的录取率为80%。因此,地理系也偏爱女性而非男性。单独来看历史性和地理系的录取率,女性的比例都要高于男性。然而,整个大学13名男性和13名女性申请了工作职位,最后录用了7名男子和6名妇女。男性申请者的成功率高于女性申请者的成功率。

辛普森悖论用不等式来表示就是:

辛普森悖论与糖水不等式、概率问题

我们同样是用几何图形来解释一下这个悖论。如下图所示:

辛普森悖论与糖水不等式、概率问题

糖水不等式在概率问题上同样可以有应用。

例如,一只口袋里装有3个红球和7个白球。现在:

(1)从口袋里任意摸出一个球,恰是红球的概率是多少?

(2)再向口袋里放入两个红球,则从口袋里任意摸出一个球,恰好是红球的概率是变大还是变小,说明理由。

(3)如果向口袋中加入的是一个红球和一个白球,那么取出红球的概率有什么样的变化?

(4)如果加入的是一个红球和两个白球,取出红球的概率又如何变化呢?

解答:

(1)P1=3/10。

(2)P2=(3+2)/(10+2)=5/12>3/10,即P2>P1。说明加入红球之后,取出红球的概率变大了,这里的红球可以视作是“糖”,口袋里的球可以视作是“糖水”。

(3)P3=(3+1)/(10+2)=4/12=1/3>3/10,即P3>P1。说明加入红球之后,取出红球的概率变大了。

(4)P4=(3+1)/(10+3)=4/13>3/10,即P4>P1。说明加入红球之后,取出红球的概率变大了。

上面(3)和(4)两个小问题可以从生活常识上来理解:如果加入的糖水浓度比原来的糖水浓度大,则加入后糖水变甜;反之,加入后糖水变淡。问题(3)加入的“糖水”浓度为1/2,大于原先的3/10;而问题(4)加入的“糖水”浓度为1/3,同样大于原先的3/10。所以浓度(概率)都增大了,但不会超过新加“糖水”的浓度。这就是糖水不等式在概率问题上的应用和解释。

其实,这个糖水不等式在很多高考数学题中都有涉及,留待以后再展开说明。

一杯糖水,一个不等式,一个概率问题,再加一个著名的数学悖论,居然是一回事。你说数学有趣不有趣?

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