神奇的斐波那契数列通项公式与黄金分割率

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有一串数列:1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、……。这个数列从第3项开始,每一项都等于前两项之和。这个数列被称作“斐波那契数列”(Fibonacci sequence),又称黄金分割数列。因数学家列昂纳多·斐波那契(Leonardoda Fibonacci)以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”。

神奇的斐波那契数列通项公式与黄金分割率

斐波那契在1202年出版的《计算书》中设计了一道有趣的算术题目,称作“兔子算术”,内容如下:有雌雄小兔子一对,小兔子长到2个月大后,如果每个月都会生下雌雄小兔子一对,请问:一年后总共会有多少对兔子呢?

斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前。比如:松果、凤梨、树叶的排列,某些花朵的花瓣数(典型的有向日葵花瓣),蜂巢,蜻蜓翅膀,超越数e,黄金矩形、黄金分割、等角螺线,十二平均律等。

神奇的斐波那契数列通项公式与黄金分割率

有趣的是,这样一个完全是自然数的数列,通项公式却是用无理数来表达的。而且当数列趋向于无穷大时,后一项与前一项的比值越来越逼近黄金分割率(约等于1.618)。比如:5÷3=1.666,21÷13=1.615,34÷21=1.619,……。越到后面,所得的结果与黄金分割率(φ)越来越接近。

下面,我们就来证明一下斐波那契数列的通项公式是如何得到的。

神奇的斐波那契数列通项公式与黄金分割率

由黄金分割率的定义可以推出:

神奇的斐波那契数列通项公式与黄金分割率

这个方程有两个解,其中一个是正解,即:φ=(1+√5)/2≈1:618。

对这个方程两边同时乘上φ,我们可以得到以下式子:

神奇的斐波那契数列通项公式与黄金分割率

假如用Fn表示斐波那契数列的第n项,则我们可以把上面的式子进一步变为:

神奇的斐波那契数列通项公式与黄金分割率

于是,我们可以用数学归纳法证明推出:

神奇的斐波那契数列通项公式与黄金分割率

然后,我们把前面第一个方程的两个根分别代入这个式子,得到:

神奇的斐波那契数列通项公式与黄金分割率

两式相减可以得到:

神奇的斐波那契数列通项公式与黄金分割率

因此,我们可以得到斐波那契数列的通项公式:

神奇的斐波那契数列通项公式与黄金分割率

当n趋向于∞时,有

神奇的斐波那契数列通项公式与黄金分割率

这就证明了前文所提到的“当数列趋向于无穷大时,后一项与前一项的比值越来越逼近黄金分割率”。

我们还可以通过构建长方形的方法推出黄金分割率。如下图所示:

神奇的斐波那契数列通项公式与黄金分割率

根据斐波那契数列的特性,我们可以得到:

神奇的斐波那契数列通项公式与黄金分割率

神奇的斐波那契数列通项公式与黄金分割率

于是推出:

神奇的斐波那契数列通项公式与黄金分割率

即:

神奇的斐波那契数列通项公式与黄金分割率

最后,我们可以通过技巧得到下面的结果(证明过程略过):

神奇的斐波那契数列通项公式与黄金分割率

这个式子还可以通过图形来表示:

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