数字“零”的十万个为什么

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数字“0”在人类文明史上是一个伟大的发明,不但可以表示“什么都没有”或者“空无一物”这样一种状态,还可以用作“占位符”,以区分218和2018是两个不同的数字。在学校里,我们通常会戏称考了“0分”为吃了“零蛋”或“鸭蛋”,因为0看上去确实和鸭蛋有那么点神似。那么,2018年的元旦,我们就来说一说关于数字“零”的十万个为什么吧!

数字“零”的十万个为什么

一、为什么0与任何数相乘还是等于0?

这个问题可以从两个角度来理解:

第一个角度,适合刚学加减乘除的小朋友,乘法本质上是加法的延伸,说白了,乘法就是反复做加法。那么,从这个角度来理解,任何一个数与0相乘,就意味着是若干个0连续相加,其结果自然还是0。

第二个角度,适合学过加法和乘法基本运算法则的小朋友。前面我们刚提过“乘法本质上是加法的延伸”,那么减法呢?减法就是加法的逆运算。什么意思呢?任何一个数(假如用字母m来代表)加上0,它们的“和”依旧是这个数m本身。那么一个数减去其本身,它们的“差”就是0了。所以说,由于减法就是加法的逆运算,数字0可以表示为任何一个数减去其本身。从这个角度来看呢,任何一个数n乘以0,可以表示为:n×0=n×(m-m)。然后用乘法的分配率将其展开,得到:n×0=n×(m-m)=n×m-n×m=0。

因此,从这两个角度,我们可以明白“为什么0与任何数相乘还是等于0”的道理了。

二、为什么0不能作为除数(分母)?

这个问题其实有很多个理由或者角度,但部分涉及到高等数学的理念,不适合普通读者,我这里讲一个比较容易理解的解释。

上学时老师通常都会告诉孩子们:同学们,你们记住了,0是不能作为除数或者分母的,因为这是没有意义的。但基本上没有老师解释为什么,或者进一步说明为什么是没有意义的。

其实这个解释很简单。老师不是说0是不能作为除数或者分母的嘛,那么我们如果“假设”0可以作为除数或者分母又会出现什么样的情况?既然是假设0可以作为除数或者分母,那么任何一个数除以0之后就一定会有一个相对应的商或者结果出现。我们用不同的字母代表可能会出现的结果:3÷0=a;6÷0=b;100÷0=c;……。因为在四则运算法则中,就像减法是加法的逆运算一样,除法也是乘法的逆运算。那么上面的结果我们可以得到:3=a×0=0;6=b×0=0;100=c×0=0;……。进一步可以推出,3=6=100=……=0。显然,假设不成立。

这就是数学中常用的“反证法”,或者叫做“归谬法”。

三、为什么任何非零数的0次方等于1?

指数运算属于中学的数学知识,但小学高年级的小朋友应该可以看得懂我的解释。

在数学里,类似a^n的形式叫做“幂运算(Exponentiation)”,又叫“指数运算”。这里的a是非零的数(为何要非零数后面再解释),称为“底数”,n称为“指数”,a^n读作“a的n次方”或“a的n次幂”,代表n个a相乘。

数字“零”的十万个为什么

但读书时老师通常还会强调一点,那就是“任何非零数的0次方等于1”。既然“a的n次方是n个a相乘”,那么“a的0次方是0个a相乘”,说到这里估计很多人就无法理解是什么意思了。那么我们先把这个定义放一放,用不同的角度来理解一下这个问题。

角度一:我们知道,10^3是1000,10^2是100,10^1是10。我把这些数字放在一起,看看有什么规律。

数字“零”的十万个为什么

这里我们发现,每当指数减少1,其结果就变为原来的十分之一。按此规律,10^0就是1。这个思维角度的好处是,按照这个规律,有兴趣的朋友很容易就可以继续延伸下去。当指数变为负数的时候,10^(﹣1)=1/10,10^(﹣2)=1/100,10^(﹣3)=1/1000,……。

角度二:回到指数运算含义的本源来看这个问题。我们知道,任何数乘以1还是其本身。于是:a^n乘以1还是a^n。我们对其展开,得到:

数字“零”的十万个为什么

当n等于0的时候,显而易见,上面的结果就是1。

角度三:我们还可以从运算法则的角度来理解这个问题。在第一个问题里,我提到“0可以表示为一个任意的数减去其本身”,那么按照这个思路,a^0可以表示为:a^(m-m)=a^m÷a^m=a^m/ a^m=1。

数字“零”的十万个为什么

通过这样三个角度,我们解释了“为什么任何非零数的0次方等于1”这个问题。但你们的心里应该还有一个问题,那就是为什么要“非零数”,0的0次方又等于多少呢?这是一个好问题,也是很少有老师会解释的问题。

沿着前文第三个角度,我们可以得到:

数字“零”的十万个为什么

因为在第二个问题里,我们已经解释了0是不能作为除数或者分母的,因此0的0次方是没有任何意义的。当然,将来你们学了高等数学以后,还可以从收敛和极限的角度来理解这个问题,这里就不展开了。这里顺便提一下,在组合数学里,是将0的0次方定义为1的。

四、为什么0的阶乘等于1?

我们知道,一个自然数的阶乘表示从它开始,依次递减相乘,一直乘到1。比如说:5!=5×4×3×2×1,10!=10×9×8×7×6×5×4×3×2×1。

数字“零”的十万个为什么

那么,0的阶乘(0!)又是多少呢?数学老师们说等于1,那为什么呢?

道理很简单。因为任何一个数的阶乘可以表示为“它本身乘以一个比它小的数的阶乘”,即:

数字“零”的十万个为什么

那么,我们可以得到:

数字“零”的十万个为什么

就是这么简单。

好了,这便是关于数字“0”的十万个为什么,数字零的几个基本性质你了解了吗?你是怎么看待“0”这个数字的呢?欢迎大家在下方留言探讨。

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